가로8cm, 세로6cm의 직사각형 공예판이 있어요. 네 변의 중점에 표시를 하고 이웃한 표시를 차례로 이어 새 틀을 만들겠습니다. 작은 틀의 넓이가 원래 넓이의 절반이라면, 테두리에 붙일 끈도 절반만 필요할까요? 치수는 설명을 위한 가상 값이에요.
원래 직사각형의 둘레는2(8+6)=28cm입니다. 대각선은√(8²+6²)=10cm입니다. 이웃한 두 변의 중점을 잇는 선은 해당 삼각형의 중점연결선이므로, 그 삼각형의 나머지 변인 대각선 길이의 절반이에요.
두 대각선이 같은 직사각형이므로 새 틀의 네 변은 모두5cm입니다. 원래 둘레의 절반14cm보다6cm 길어서,14cm 끈으로는 부족해요. 일반적인 사각형에서도 이 중점 틀의 둘레는 원래 두 대각선 길이를 더한 값이에요.
넓이는 별도로 확인해 볼까요? 새 틀의 가로·세로 대각선은 각각8cm와6cm여서 넓이는8×6/2=24cm²입니다. 원래48cm²의 정확히 절반이에요. 그러나 이는 사방에서 똑같은 배율로 축소한 결과가 아니에요.
넓이가 일정 비율로 줄어도 둘레가 같은 비율로 줄지는 않아요. 특히 중점을 잇는 도형은 원래와 모양 자체가 달라질 수 있으므로, 필요한 테두리 재료는 변 길이로 다시 계산해야 해요.
참고한 수학 개념: Mathigon · Quadrilaterals.
이 글의 생활 상황과 계산 예시는 수학 이야기에서 새로 구성했습니다.