녹음 레벨이 너무 컸다면 저장된 소리를 줄이면 될까요? 실제 장치의 규격 대신 가상 숫자 모형을 써요. 순간 입력 x는 단위 없는 양수이고, 기록 함수 C는 0≤x≤1에서 C(x)=x, x>1에서 C(x)=1입니다. 이는 큰 입력이 위쪽 한도에 닿아 잘리는 포화예요.
입력 x=1.6을 먼저 기록하면 C(1.6)=1입니다. 그 기록을 절반으로 줄이면 0.5가 돼요. 반대로 입력부터 절반인 0.8로 줄여 기록하면 한도를 넘지 않아 0.8이 그대로 남아요.
따라서 두 순서는 같지 않아요. 기록값이 1이었다는 사실만으로 원래 입력이 1.6임을 알아낼 수도 없어요. 1,1.6,2.4 등 모든 x≥1이 같은 기록 1을 만들기 때문이에요. 나중에 그 숫자를 작게 바꾸어도 없어진 구별은 돌아오지 않아요.
이것은 실제 음질의 완전한 설명이 아니라 비선형 변환의 정보 손실을 보는 예예요. 선형 배율처럼 곱셈 순서를 바꿔도 같을 것이라는 생각은 포화가 끼어들면 성립하지 않아요. 입력을 줄이는 계산과 이미 기록된 값을 줄이는 계산의 대상을 구별해야 해요.
참고한 수학 개념: Plus · Maths in a minute: Non-linearity.
이 글의 생활 상황과 계산 예시는 수학 이야기에서 새로 구성했습니다.