전시 모형 목록에 ‘모서리30개’라는 설명만 남아 있어요. 모든 면이 같은 정다각형이고, 꼭짓점마다 같은 수의 면이 만나는 볼록 정다면체라고 알려져 있어요. 연결봉30개를 준비했다는 사실만으로 어떤 모양인지 정할 수 있을까요?
정이십면체는 정삼각형 면20개로 이루어집니다. 면마다 세 변을 세면60번이고, 각 모서리는 두 면에서 중복되어 셈해집니다. 따라서 모서리는30개예요. 꼭짓점 수 V는 구멍 없는 볼록 입체의 오일러 관계에서 구해요.
정십이면체는 정오각형 면12개예요. 이번에는 면의 변을12×5=60번 세므로 E=30이 같아요. 그러나 V=2+30−12=20이어서 꼭짓점 수는 달라요. 두 입체의 면 수와 꼭짓점 수가20과12로 서로 바뀌어요.
둘은 서로 쌍대인 정다면체예요. 한쪽의 각 면에 대응하는 점을 잡아 이웃 면끼리 이어 다른 쪽의 구조를 만들 수 있어요. 모서리 수가 같다고 면의 종류나 꼭짓점 수까지 같은 것은 아니에요.
그러므로 이 목록의 정보만으로는 모양이 하나로 정해지지 않아요. 정삼각형 면이라는 조건을 더 주면 정이십면체를, 정오각형 면이라면 정십이면체를 구별할 수 있어요. 사진 속 입체 재료는 관계를 떠올리기 위한 사물이며 실제 모형의 개수를 세는 자료는 아니에요.
참고한 수학 개념: Mathigon · Platonic Solids.
이 글의 생활 상황과 계산 예시는 수학 이야기에서 새로 구성했습니다.