종이 지도에서 시작점 (0,0)과 끝점 (2,0)을 잇는 가상의 두 길을 생각해 볼까요? 좌표 단위는 미터예요. 첫 길은 0≤x≤2에서 y=1−(x−1)²인 아치이고, 둘째 길은 y=0인 직선이에요. 크기 없는 점 장애물이 (1,0.5)에 하나 있어요. 사람이나 차량의 폭을 판정하는 실제 경로 계획은 아니에요.
두 길은 모두 장애물을 지나지 않아요. 아치에서 x=1이면 높이는 1이고, 직선에서는 높이가 0입니다. 두 길 사이를 부드럽게 바꾸려고 높이를 다음처럼 낮춰 볼까요? s는 0부터 1까지 움직이는 변형 단계예요.
s=0에서 아치, s=1에서 직선이고 양끝점은 계속 고정됩니다. 또한 x와 s에 대해 식이 연속이므로 그림이 갑자기 끊어지지는 않아요. 그러나 s=1/2, x=1을 넣으면 y=0.5로 장애물을 정확히 통과해요.
따라서 이 높이 축소 방식은 장애물 없는 평면에서는 자연스러운 연속 변형이지만, 장애물 회피 조건이 붙은 공간에서는 사용할 수 없어요. 두 끝 그림을 검사하는 일과 모든 중간 그림을 검사하는 일은 달라요. 다른 변형 방식의 가능성까지 판정한 것은 아니며, 이번에 제시한 식이 왜 실패하는지를 확인한 답이에요.
참고한 수학 개념: Plus · Maths in a minute: Homotopy.
이 글의 생활 상황과 계산 예시는 수학 이야기에서 새로 구성했습니다.