기체가 뜨거워지면 분자들이 더 빨리 움직인다고 해요. 그런데 온도를 네 배로 하면 대표 속력도 네 배일까요? 분자 질량이 일정하고 열평형인 이상적인 가상 기체의 맥스웰 속력 분포를 써요. 여기의 T는 섭씨가 아니라 켈빈으로 표시한 양의 절대온도예요.
분포의 크기를 정하는 매개변수 a는 √T에 비례해요. 속력 v를 a로 나눈 단위 없는 u=v/a를 사용하면, 밀도의 모양은 양수 상수를 제외하고 g(u)=u²exp(−u²/2)입니다. 가장 자주 나타나는 속력은 이 밀도가 가장 높은 위치라는 뜻으로 써요.
미분하면 g′(u)의 부호는 u>0에서 2−u²의 부호와 같아요. 따라서 u<√2에서 증가하고 u>√2에서 감소하여 봉우리는 u=√2입니다.
T가 네 배이면 a의 비는 √4=2이므로 봉우리 속력도 두 배예요. 예를 들어 처음 a=20m/s라면 봉우리는 약 28.3m/s이고, 바뀐 a=40m/s에서는 약 56.6m/s입니다.
이는 분자 하나하나의 속력이 모두 두 배로 고정된다는 뜻이 아니에요. 분포의 봉우리를 비교한 값이에요. 기체 종류와 질량이 바뀌면 같은 온도만으로 속력을 비교할 수도 없어요. 평균적인 온도 정보와 개별 분자의 움직임을 구별해야 해요.
참고한 수학 개념: Plus · Maths in a minute: Statistical mechanics.
이 글의 생활 상황과 계산 예시는 수학 이야기에서 새로 구성했습니다.