번호표 가운데 소수 번호만 파랗게 표시하는 가상 전시를 생각해 볼까요? 소수는1보다 크고, 양의 약수가1과 자기 자신뿐인 정수예요. 소수가 끝없이 많으니 어느 곳에서 시작해도 네 번호쯤 보면 파란 표가 하나는 나온다고 말할 수 있을까요?
작은 반례부터 만들겠습니다.5!=1×2×3×4×5=120입니다. 여기에2,3,4,5를 더한 연속 번호122,123,124,125는 각각2,3,4,5로 나누어집니다. 각 약수는1보다 크고 해당 번호보다 작으므로 모두 합성수예요. 네 칸을 봐도 소수가 없는 구간이에요.
이 방법은 네 칸에만 해당하지 않아요. 정수 m≥2에 대해 m!은2부터 m까지 모든 정수로 나누어집니다.2≤j≤m이면 m!+j 역시 j의 배수예요.
괄호 안도2 이상이므로 이 수는 소수가 아니에요. 따라서 m!+2부터 m!+m까지, 연속한 m−1개 번호가 모두 합성수예요. 원하는 빈 구간 길이를 L이라 하면 m=L+1로 정하여 그런 구간을 만들 수 있어요. 시작 번호가 매우 커질 수 있지만 존재한다는 증명에는 문제가 없어요.
소수가 무한히 많다는 말은 결국 목록의 끝이 없다는 뜻이에요. 모든 짧은 구간에 골고루 있다는 뜻은 아니에요. 표시가 계속 나온다는 사실과, 다음 표시까지 기다릴 칸 수에 일정한 상한이 있다는 사실은 다른 조건이에요.
참고한 수학 개념: Mathigon · The Distribution of Primes.
이 글의 생활 상황과 계산 예시는 수학 이야기에서 새로 구성했습니다.