관이 좁아져도 물은 같은 속력으로 흐를까요? 가상 관에는 물이 일정하게 흐르며 중간에서 새거나 쌓이지 않아요. 물은 압축되지 않는 것으로 보고, 각 단면에서는 관에 수직인 방향의 속력이 단면 전체에 일정하다고 단순화해요. 입구 단면적은 12cm², 속력은 초당 5cm이고 출구 단면적은 4cm²입니다. 관 모양에 따른 압력이나 마찰은 이번 계산에서 구하지 않아요.
단면적 와 속력 를 곱하면 1초에 지나가는 부피, 즉 유량 입니다. 단위도 cm² 곱하기 cm/s여서 cm³/s가 돼요. 입구 유량은 다음과 같아요.
중간에서 물이 쌓이지 않으려면 출구 유량도 60cm³/s여야 해요. 출구 속력을 라고 적으면 이므로 cm/s입니다. 출구 단면이 입구의 3분의 1이어서, 단면을 지나는 속력은 세 배가 되어야 해요.
출구에서도 5cm/s로 흐른다고 놓으면 나가는 양은 초당 20cm³입니다. 들어오는 60과 차이가 나서 10초 동안 400cm³가 관 안에 추가로 쌓이는 계산이 돼요. 이는 이번에 정한 ‘쌓이지 않는 흐름’ 조건과 충돌해요.
이 관계는 유체 운동을 설명하는 여러 식 중 부피 보존을 확인하는 부분이에요. 실제 관의 압력과 펌프 설정까지 정한 설계 답은 아니에요. 한 숫자인 속력만 따라가기보다, 단면을 통과하는 부피와 단위를 같이 읽어야 연결된 관의 흐름을 일관되게 설명할 수 있어요.
참고한 수학 개념: IMAGINARY · Navier-Stokes equations.
이 글의 생활 상황과 계산 예시는 수학 이야기에서 새로 구성했습니다.