둥근 거울에 같은 방향으로 비추면, 반사 방향도 같을까요?

둥근 거울에 왼쪽에서 수평으로 빛을 비추면 언제나 왼쪽으로 되돌아갈까요? 가상의 평면 원형 거울은 중심이 원점이고 반지름은 $\sqrt2$입니다. 좌표의 길이 단위는 cm로 정해요. 입사 방향 벡터는 $v=(1,0)$이며, 거울 바깥 왼쪽에서 접근해요. 거울의 한 점에서 반사되는 방향은 그 점의 단위 법선 $n$을 사용해 $r=v-2(v\cdot n)n$으로 계산하는 모형이에요.

첫 접촉점 $P=(-\sqrt2,0)$에서는 중심에서 P로 향하는 법선이 $n=(-1,0)$입니다. $v\cdot n=-1$이므로 반사 방향은 $r=(-1,0)$, 즉 왼쪽이에요.

둘째 접촉점 $Q=(-1,1)$도 원 위에 있어요. 이곳의 법선은 비스듬한 $n=(-1,1)/\sqrt2$이고 내적은 $-1/\sqrt2$입니다.

Q에서 빛은 위쪽으로 나가요. 두 입사 방향은 같지만 접촉점의 법선이 달라 반사 방향은 왼쪽과 위쪽으로 갈립니다. 둥근 거울 전체를 같은 세로 평면 거울처럼 생각하면 Q의 반사도 왼쪽이라고 잘못 계산하게 돼요.

두 결과의 벡터 길이는 모두1입니다. 반사 식은 방향의 법선 성분만 부호를 바꾸고 접선 성분은 유지하여 입사각과 반사각을 맞춰요. 여기에서는 빛의 파동 성질이나 실제 구면 거울의3차원 초점은 다루지 않아요. 거울을 얼마나 둥글게 보느냐보다 ‘어느 점의 법선인가’를 먼저 표시해야 올바른 경로를 얻을 수 있어요.

참고한 수학 개념: IMAGINARY · FroZenLight.

이 글의 생활 상황과 계산 예시는 수학 이야기에서 새로 구성했습니다.