종이 삼각형 안에서 현재 표시와 고른 목표점의 중점으로 옮기는 가상 장치를 생각해 볼까요? 좌표 단위는cm이고 꼭짓점은 A=(0,0), B=(8,0), C=(0,8), 시작 표시는 P=(4,2)입니다. 두 번 이동하며 A와 B를 각각 한 번 골랐다면 마지막 위치도 하나로 정해질까요?
A를 먼저 고르면 P와A의 중점은(2,1)입니다. 이어 B를 고르면(2,1)과(8,0)의 중점인(5,0.5)에 도착해요. 반대로 B를 먼저 고르면 첫 위치는(6,1)이고, 이어 A를 고르면(3,0.5)입니다. 두 목표를 고른 횟수는 같지만 마지막 가로 위치는2cm 차이예요.
그 이유를 식으로 볼 수 있어요. 첫 목표를 U, 둘째 목표를 V라고 하면 두 단계 뒤 위치는 좌표별 평균을 두 번 계산한 값이에요.
최근 목표 V의 비중은1/2이고 앞 목표 U는1/4입니다. 목표를 교환하면 이 두 가중치도 교환됩니다. A다음B의 가로 위치는4/4+0/4+8/2=5, B다음A는4/4+8/4+0/2=3입니다. 세로 위치는 두 경우 모두2/4=0.5입니다. 중점을 거듭 잡는 과정은 모든 목표를 같은 비중으로 평균내는 과정이 아니에요.
따라서 A한 번, B한 번이라는 횟수표만으로 마지막 표시를 재현할 수 없어요. 각 회차에서 어느 목표를 골랐는지 순서도 남겨야 해요. 무작위로 목표를 고르는 경우에도 이미 끝난 특정 경로를 복원하려면 같은 원칙이 적용돼요. 두 이동의 횟수와 선택 순서는 서로 다른 정보예요.
참고한 수학 개념: Mathigon · The Sierpinski Triangle.
이 글의 생활 상황과 계산 예시는 수학 이야기에서 새로 구성했습니다.