1,2,3,…번으로 끝없이 이어지는 가상 선반에 칸마다 물건 하나가 있어요. 물건을 잃거나 겹쳐 놓지 않고 재배치하되, 각 물건은 원래 번호에서 최대 두 칸만 옮길 수 있어요. 선반이 무한하니 빈자리를 얼마든지 만들 수 있을까요?
원래 n번 물건의 새 번호를 f(n)이라 하겠습니다. 새 번호는 양의 정수이고 서로 달라야 하며 |f(n)−n|≤2입니다. 이제 처음 N개 물건만 봐요. 각각의 새 번호는 N+2 이하이므로, 이 N개 물건은 앞쪽 N+2칸 안에 서로 다른 자리를 차지해요.
원래 뒤쪽의 물건도 이 구간으로 들어오면 빈자리는 더 줄어들 뿐이에요. 이것이 선반 전체에 어떻게 적용될까요? 만약 빈자리가 세 개 있다면 그 세 번호 중 가장 큰 번호를 M이라 해 볼까요? N을 충분히 크게 골라 N+2≥M으로 만들면 앞쪽 N+2칸에 빈자리 세 개가 포함돼요. 방금 얻은 상한2와 모순이에요.
따라서 전체 선반에 만들 수 있는 빈자리는 최대 두 개예요. 실제로 모든 물건을 두 칸 뒤로 보내는 f(n)=n+2는 이동 조건에 맞고1번과2번을 비워 둬요. 상한에 도달하는 재배치도 있으므로 최대값은 정확히2입니다.
무한히 이어진다는 조건이 다른 제한을 지워 주지는 않아요. 이 문제에서는 전체 칸을 한꺼번에 세는 대신, 앞부분의 유한 칸을 세어 무한 선반의 제약을 밝혔습니다. 이동폭을 제한하지 않은 재배치와는 다른 질문이에요.
참고한 수학 개념: Mathigon · Infinity.
이 글의 생활 상황과 계산 예시는 수학 이야기에서 새로 구성했습니다.