가상 대기 시간 X를 초 단위로 기록하며, 0≤x≤1에서 확률밀도 f(x)=2x, 그 밖에서는0이라고 정해요. 전체 넓이는 ∫₀¹2x dx=1이므로 유효한 밀도예요. 밀도의 단위는 초의 역수예요. 이는 실제 대기 자료에서 추정한 식은 아니에요.
같은 시간을 밀리초로 기록한 숫자를 Y=1000X라고 써요. 가로 구간이 천 배 넓어지므로 동일한 넓이를 유지하려면 높이는 천 분의1이 되어야 해요. y가 0부터1000 사이일 때 새 밀도 g는 다음과 같아요.
x=0.5초에서 f의 높이는1/초이고, 같은 위치 y=500밀리초에서 g의 높이는0.001/밀리초예요. 높이 숫자만 보면 천 배 다르지만, 같은 사건의 확률을 계산해 볼까요?
0.4초부터0.6초까지의 확률은 0.6²−0.4²=0.2입니다. 새 식에서400부터600밀리초까지 적분해도 (600²−400²)/1000000=0.2입니다. 같은 시간이므로 같은20%입니다. 확률밀도 높이는 단위와 함께 읽고, 확률은 대응 구간의 넓이로 비교해야 해요. 그래프의 높이 숫자가 변한 것을 확률 변화라고 읽으면 다른 양을 비교하게 돼요.
참고한 수학 개념: Plus · Maths in a minute: Probability distributions.
이 글의 생활 상황과 계산 예시는 수학 이야기에서 새로 구성했습니다.