가상 작업장에는 A, B, C 세 작업이 있어요. A는 부품 X, B는 X와 Y, C는 Y만 써요. X를 준비하는 비용은 12, Y는 6이며 같은 비용 단위를 써요. 필요한 부품은 한 번만 준비해 함께 쓰고 추가 사용료는 없어요. 혼자 하면 B의 비용은 18이지만, 함께 일할 때도 B에게 18을 모두 청구해야 할까요?
이번 분담 규칙은 세 작업의 시작 순서 여섯 가지를 똑같이 취급하고, 각 작업이 들어올 때 새로 필요한 비용을 평균 내는 거예요. 이를 샤플리 분담이라고 불러요. A부터 B, C 순서로 들어오면 추가 비용은 각각 12, 6, 0입니다. C부터 A, B 순서라면 각각 C의 6, A의 12, B의 0입니다.
X의 비용 12는 A와 B 중 먼저 온 작업에 붙어요. 여섯 순서 중 A가 먼저인 경우와 B가 먼저인 경우가 각각 세 번이므로 평균 부담은 둘 다 6입니다. Y의 비용 6도 B와 C가 절반씩 평균 부담해요. 따라서 각 몫은 다음과 같아요.
세 몫을 합치면 18로 실제 공동 비용과 맞아요. 반면 혼자 쓰는 비용 12, 18, 6을 각각 청구하면 합이 36이어서 공동 비용의 두 배를 걷습니다. 개별 사용 비용을 그대로 합하는 것은 부품 공유를 빠뜨린 계산이에요.
이 규칙이 모든 상황의 공평함을 대신 결정하는 것은 아니에요. 이번에는 필요한 부품 집합과 모든 순서를 같은 비중으로 보는 기준을 정했어요. 그 조건 아래서는 B가 더 많은 부품을 써도 혼자 사용한 18을 전부 부담하지 않는 이유를 계산으로 확인할 수 있어요.
참고한 수학 개념: AMS · The Shapley Value, or How to Split a Bill in n! Easy Steps.
이 글의 생활 상황과 계산 예시는 수학 이야기에서 새로 구성했습니다.