측정을 더 했는데, 새 기록의 비중이 더 커질까요?

가상 센서가 길이 변화량을 추정한다고 해 볼까요? 추정 평균 $m$과 측정값 $z$는 cm, 추정 불확실성 $P$와 측정 오차 분산(값들이 평균에서 얼마나 흩어져 있는지 나타내는 양) $R$은 cm²입니다. 정규 오차를 사용하는 모형에서 새 값의 비중인 칼만 이득은 $K=P/(P+R)$이고, 갱신 평균은 $m+K(z-m)$입니다. 측정 오차와 예측 오차는 독립이라고 정해요.

처음 $m=0,P=1,R=1$일 때 측정값 10을 받으면 $K=1/2$입니다. 새 평균은 5, 새 분산은 $(1-K)P=1/2$입니다. 데이터가 추가되어 추정의 불확실성은 줄었어요.

다음 시각까지 관측하지 못한 변동이 생긴다고 해 볼까요? 그 변동은 평균 0, 분산 $Q=3$인 독립 정규 오차예요. 평균 예측은 5 그대로지만 분산은 $1/2+3=7/2$로 커져요. 다음 측정의 $R$도 1이면 이득은 다음과 같아요.

측정을 더 했는데도 다음 새 값의 비중은 처음의 $1/2$보다 커요. 다음 측정도 10이라면 평균은 $5+(7/9)(10-5)=80/9$, 약 8.89가 돼요. 같은 상황에서 공정 변동을 0으로 놓으면 이득은 $1/3$, 평균은 $20/3$, 약 6.67입니다.

두 결과의 차이는 측정 횟수의 계산 실수가 아니에요. 모형이 시각 사이의 변화를 얼마나 허용하는지가 달라졌습니다. 관측을 많이 했다는 사실만으로 이후 모든 새 값의 영향이 계속 작아진다고 결론 낼 수 없어요.

참고한 수학 개념: AMS · The Kalman Filter. Helping Chickens Cross the Road..

이 글의 생활 상황과 계산 예시는 수학 이야기에서 새로 구성했습니다.