바닥 격자의 구슬을 네 번 움직이는 가상 모형이에요. 한 걸음은 오른쪽·왼쪽·위·아래 중 하나로 1cm이며 매번 독립적으로 같은 확률 1/4로 골라요. 실제 분자의 운동을 그대로 재현하는 실험은 아니에요. 가능한 기록은 4⁴=256개로 같은 확률이에요.
제자리로 돌아오는 기록부터 세어요. 네 걸음 모두 가로이면 오른쪽 두 번과 왼쪽 두 번의 순서가 6개예요. 모두 세로인 경우도 6개예요. 가로 두 걸음과 세로 두 걸음이면 가로 자리 선택 6개, 좌우 순서 2개, 위아래 순서 2개로 24개예요.
가로 변위만 0인 기록은 70개예요. 모두 세로인 16개, 가로 두 걸음이 상쇄되는 6×2×4=48개, 모두 가로에서 상쇄되는 6개를 더한 값이에요. 세로 변위 0도 대칭으로 70개예요. 두 확률을 곱하면 (70/256)²≈0.0748인데, 정확한 복귀 확률 9/64≈0.1406과 달라요.
매번의 방향 선택이 독립이라는 조건은 가로와 세로 변위가 독립이라는 조건이 아니에요. 한 걸음에서 가로로 움직이면 그 걸음의 세로 변화는 반드시 0입니다. 두 좌표 조건을 함께 만족하는 기록을 세어야 해요. 서로 다른 단계의 독립성을 같은 단계의 두 좌표에 옮기면 답이 틀려요.
참고한 수학 개념: Exploratorium · Molecular Buffeting – Model.
이 글의 생활 상황과 계산 예시는 수학 이야기에서 새로 구성했습니다.