가상 장비의 두 길이 변화 x, y를 네 번 측정했다고 해 볼까요? 두 좌표를 cm로 기록한 숫자 쌍은 (3, 1), (3, −1), (−3, 1), (−3, −1)입니다. 두 평균은 0입니다. 이 기록에서 숫자 변동이 가장 큰 방향 하나를 골라 보고서를 단순하게 만들려 해요.
네 기록의 제곱을 더해 4로 나누면 x의 분산(값들이 평균에서 얼마나 흩어져 있는지 나타내는 양)은 9, y의 분산은 1입니다. xy의 평균은 0이라 두 좌표의 공분산도 0입니다. 계수 a, b가 a²+b²=1을 만족할 때 새 숫자 ax+by의 분산은 다음과 같아요.
따라서 최댓값은 9이며, a=±1, b=0인 x축 방향에서 나와요. 이것이 이 숫자 좌표에 대한 첫 주성분 방향이에요.
이제 같은 y 측정만 mm로 다시 적어 y′=10y라고 해 볼까요? x는 여전히 cm입니다. 물체의 변화는 그대로지만 y′의 분산은 100이 되어, 같은 방식의 수치 계산이 달라져요.
이번 최댓값은 100이며 y′축 방향에서 나와요. 서로 다른 단위의 길이를 물리적으로 더했다는 뜻이 아니라, 기록된 숫자로 만든 분석 결과예요. 큰 주성분이 곧 물리적으로 더 중요한 변화라는 결론을 내리려면, 먼저 단위나 표준화 기준이 그 목적에 맞는지 정해야 해요.
참고한 수학 개념: AMS · Principal Component Analysis – Three Examples and some Theory.
이 글의 생활 상황과 계산 예시는 수학 이야기에서 새로 구성했습니다.