폭이 어느 방향에서나 4cm인 평평한 판이 있어요. 한 판은 원이고, 다른 판은 한 변 4cm인 정삼각형의 각 꼭짓점을 중심으로 반지름 4cm의 원호를 이은 루로 삼각형이에요. 판을 기울이지 않고 같은 평면에서 옮기거나 돌릴 수 있다고 정할게요. 둘 다 간격 4cm인 평행한 벽 사이에 놓이지만, 지름 4cm의 둥근 구멍에도 들어갈까요?
원판의 반지름은 2cm이므로 같은 크기 구멍에 경계까지 맞게 들어가요. 루로 삼각형의 폭도 4cm이지만, 세 꼭짓점이 모두 한 반지름 2cm 원 안에 들어가는지 확인해야 해요.
정삼각형의 중심을 원점 O, 세 꼭짓점 위치를 V₁, V₂, V₃라고 쓰면 각각 중심에서 4/√3 cm 떨어지고 세 벡터의 합은 0입니다. 구멍 중심을 어디로 옮기든 그 위치를 C라고 하면 거리 제곱의 평균은 다음과 같아요.
오른쪽은 최소 16/3으로, 반지름 제곱 4보다 커요. 따라서 세 거리 모두 2cm 이하일 수 없어요. 어떤 중심을 골라도 꼭짓점 하나 이상이 구멍 밖으로 나와 판 전체는 들어가지 못해요.
폭은 한 방향의 두 평행 지지선 사이를 잰 값이에요. 둥근 구멍 통과는 여러 방향의 한계를 하나의 중심에서 동시에 만족해야 해요. ‘모든 방향에서 폭 4cm’와 ‘지름 4cm 원 안에 포함’은 서로 다른 조건이에요.
참고한 수학 개념: Exploratorium · Non Round Rollers.
이 글의 생활 상황과 계산 예시는 수학 이야기에서 새로 구성했습니다.