가상 기계의 고장 원인은 A, B, C, D 중 정확히 하나예요. 미리 정한 가능성은 A가 1/2, 나머지가 각각 1/6입니다. 검사 결과는 오차 없는 예·아니오 두 가지예요. 첫 검사를 골라 평균 정보를 많이 얻으면, 가장 나쁜 결과에서도 후보가 가장 적게 남을까요?
검사 Ⅰ은 원인이 A일 때만 예예요. 예와 아니오의 확률은 각각 1/2입니다. 결과 확률을 pᵢ, 평균 정보량을 H라고 하면 단위는 비트이며 다음처럼 계산해요.
검사 Ⅰ의 H는 1입니다. 그러나 아니오가 나오면 B, C, D 세 후보가 남아요. 최악의 잔여 후보 수는 3입니다.
검사 Ⅱ는 A 또는 B일 때 예예요. 결과 확률은 2/3과 1/3이어서 H는 약 0.918입니다. 예가 나오면 A, B, 아니오면 C, D이므로 어느 쪽도 후보는 둘만 남아요.
평균 정보량은 Ⅰ이 더 크지만 최악의 후보 수는 Ⅱ가 더 작아요. 확률 질량을 반으로 나누는 것과 후보 개수를 반으로 나누는 것은 사전 확률이 다르면 같은 일이 아니에요. 이는 첫 검사 두 개의 비교이며, 후속 검사를 포함한 전체 최적 전략을 정했다는 뜻은 아니에요.
참고한 수학 개념: AMS · Wordle is a game of chance.
이 글의 생활 상황과 계산 예시는 수학 이야기에서 새로 구성했습니다.