별 앞을 지나가며 빛을 가리는 행성은 아무 방향에서나 보이지 않아요. NASA 자료의 통과 확률에서 착안해, 별마다 행성이 하나 있는 가상 표본을 만들어 봐요. 별 반지름은 모두 R이고, 행성 궤도 반지름 a는 10R 또는 40R이며 두 집단의 실제 수는 같아요.
행성 크기는 무시하고 원 궤도로 정해요. 궤도축은 모든 공간 방향에서 같은 확률로 놓이에요. 관측 방향과 궤도축의 각을 i라 하면 |cos i|는 0부터 1 사이에서 균등해요. 별 원판을 지나려면 a|cos i|≤R이므로 통과 확률은 다음과 같아요.
가까운 집단은 1/10, 먼 집단은 1/40입니다. 충분히 오래 관측하여 실제 통과는 모두 발견하고 다른 탐지 편향은 없다고 가정해요. 임의 별이 가까운 집단이면서 발견될 확률은 (1/2)(1/10), 먼 집단이면서 발견될 확률은 (1/2)(1/40)입니다.
실제 구성은 반반인데 발견된 목록에서는 가까운 행성이 80%입니다. 유한 표본의 실제 개수가 꼭 이 비율이라는 뜻은 아니에요. 발견 비율을 모집단 비율로 읽으려면 거리별로 목록에 들어올 확률을 함께 알아야 해요.
참고한 수학 개념: NASA · Impact of Space Weather on Climate and Habitability of Terrestrial Type Exoplanets.
이 글의 생활 상황과 계산 예시는 수학 이야기에서 새로 구성했습니다.