가상 공을 높이 0.8m에서 정지 상태로 놓아요. 중력 가속도는 10m/s²이고 공기 저항은 없어요. 바닥 충돌 시간은 0이며, 충돌 직전 아래로 향한 속력의 절반으로 위로 튀는 이상 규칙을 정해요. 이 모형에서 충돌은 끝없이 이어지는데, 전체 시간도 끝없이 늘어날까요?
첫 낙하 시간은 √(2×0.8/10)=0.4초이고 충돌 직전 속력은 4m/s입니다. 첫 반발 속력은 2m/s라서 위로 올라갔다 같은 바닥으로 돌아오는 시간은 2×2/10=0.4초예요. 다음 왕복 시간은 0.2초, 그다음은 0.1초예요.
충돌 속력이 절반이 되면 최고 높이는 v²/(2g)에 따라 1/4이 되지만, 왕복 시간 2v/g는 1/2이 돼요. 높이 비율을 시간 비율로 그대로 쓰면 안 돼요. 첫 충돌 뒤 왕복 비행을 모두 더하면 다음과 같아요.
총 시간의 극한은 1.2초예요. 왕복 N번까지는 1.2−0.8×2⁻ᴺ초여서 어떤 유한 N에서도 1.2초보다 작지만, N을 늘리면 그 값에 가까워져요.
무한한 횟수와 무한한 시간은 같은 뜻이 아니에요. 다만 이 답은 충돌에 시간이 들지 않고 반발 규칙이 아무리 작은 움직임에도 유지되는 이상 모형의 극한이에요. 실제 공이 반드시 무한히 튄다는 관찰 결과로 읽지 않아야 해요.
참고한 수학 개념: Exploratorium · Bouncing Ball.
이 글의 생활 상황과 계산 예시는 수학 이야기에서 새로 구성했습니다.