지도 위 가상 영역은 5cm×4cm 직사각형에서 내부의 1cm×2cm 직사각형 구멍을 뺀 거예요. 사용 가능한 넓이는 20−2=18cm²입니다. 경계를 따라가는 면적 기록기에 같은 모양을 그리기만 하면 늘 18이 남을까요?
이번 가상 기록 규칙은 좌표를 cm로 쓰고, 닫힌 다각형의 차례대로 이웃 꼭짓점 곱을 더하는 거예요. 마지막 꼭짓점 다음에는 처음 꼭짓점을 넣어요.
바깥을 (0,0), (5,0), (5,4), (0,4) 순서로 한 번 따라가면 J=(20+20)/2=20cm²입니다. 반시계 방향이므로 양수예요. 내부 구멍을 시계 방향으로 한 번 돌면 −2cm²가 더해져 합은 18이 돼요. 경계 사이 연결선을 갔다 되돌아오는 기록은 서로 상쇄돼요.
그런데 바깥만 같은 방향으로 두 번 돌고 구멍을 한 번 돌면 기록은 20+20−2=38cm²입니다. 그린 선의 집합과 사용 가능한 영역은 그대로여도 누적값은 달라져요. 구멍까지 반시계로 돌면 한 번씩이어도 20+2=22입니다.
이 기록은 어느 부분을 몇 번, 어느 방향으로 감싸 돌았는지 반영해요. 도형의 넓이와 같게 읽으려면 바깥과 구멍의 방향, 반복 횟수를 맞춰야 해요. 전시 면적계의 움직임 누적 개념에서 착안한 가상 좌표 계산이며 실제 기계의 교정값을 측정한 것은 아니에요.
참고한 수학 개념: Exploratorium · Planimeter.
이 글의 생활 상황과 계산 예시는 수학 이야기에서 새로 구성했습니다.