위성에서 내려다보면 높이가 올라갈수록 더 넓은 표면이 보여요. NASA의 위성 관측 범위 자료에서 착안해 반지름 R인 가상 구형 행성을 생각해 봐요. 대기 굴절과 지형은 없고, 위성은 시야 제한 없이 직선으로 보이는 표면을 모두 관찰해요.
위성 높이를 표면에서 h로 잽니다. 행성 중심 O, 위성 S, 지평선 접점 T를 이으면 OT와 ST는 수직이에요. 중심각 θ=∠TOS에서 OT=R, OS=R+h이므로 다음 관계를 얻어요.
보이는 부분은 높이가 R(1−cos θ)인 구면 모자예요. 그 면적은 2πR²(1−cos θ)이고, 전체 구면적 4πR²로 나누면 가시 비율 f가 돼요.
높이 h=R일 때 전체의 1/4이 보여요. 두 배 높이인 h=2R에서는 1/3이 보여 면적 증가는 두 배가 아닌 4/3배예요. R과 h를 같은 길이 단위로 써야 해요.
또한 유한한 높이에서는 R/(R+h)>0이므로 f<1/2입니다. 훨씬 멀어질수록 절반에 가까워질 뿐, 한 위치에서 행성의 뒷면까지 보는 것은 아니에요. 이는 실제 위성의 센서 성능 수치가 아닌 기하학적 상한이에요.
참고한 수학 개념: NASA · Tsunami Early-Warning CubeSat Design Reference Mission (DRM).
이 글의 생활 상황과 계산 예시는 수학 이야기에서 새로 구성했습니다.