가상 중고 상품 추천에서 각 가게의 상품 점수 s를 단위 없는 숫자로 기록해요. 가게별 점수는 exp(s)를 모두 더하고 자연로그 ln을 취해 계산한다고 정해요. 서로 다른 선택지가 많으면 점수도 커지는 규칙이에요. 가게 A는 점수 3인 상품 하나, B는 2.5인 상품 하나를 올렸습니다.
상품 하나일 때 ln(exp(s))=s이므로 A가 3, B가 2.5로 A가 앞서요. 이제 B의 같은 상품 기록을 실수로 두 번 저장했다고 해 볼까요? 품질도 실제 상품 수량도 그대로인데 두 기록을 별개의 선택지처럼 합산해요.
A의 3점을 넘어요. 복사한 기록이 ‘상품이 좋아졌다’는 정보를 주지 않았어도 추천 순위가 바뀐 거예요. 이는 두 입력을 부드럽게 합치는 로그-지수 연산이 같은 값을 여러 번 넣어도 그대로인 최댓값 연산과 다르기 때문이에요.
최댓값으로 비교했다면 max(2.5, 2.5)=2.5라 변화가 없어요. 반면 위의 집계에서는 동일 점수를 n번 넣으면 s+ln(n)이 돼요. 이 규칙이 잘못됐다는 뜻은 아니지만, 실제 선택지가 아닌 중복 기록도 선택지 수의 효과를 받아요.
추천을 해석하려면 상품 점수뿐 아니라 합산 전에 무엇을 서로 다른 상품으로 세는지도 정해야 해요. 이는 명시한 가상 점수 규칙의 계산이며 특정 서비스의 실제 추천 방식을 설명하지 않아요.
참고한 수학 개념: AMS · Hyperoperations, Distributivity, and the Unreasonable Effectiveness of Multiplication.
이 글의 생활 상황과 계산 예시는 수학 이야기에서 새로 구성했습니다.