숫자를 5로 나눈 나머지로 계산하면 2×3의 나머지는 1입니다. 따라서 숫자에 2를 곱한 결과는 3을 곱해 되돌릴 수 있어요. 타원곡선 암호에서 점에 2를 곱하는 일도 같은 뜻일까요? 실제 보안용이 아닌 아주 작은 가상 예를 볼까요?
x, y는 0, 1, 2, 3, 4 중 하나이며 다음 식을 5로 나눈 나머지가 같다는 뜻으로 사용해요.
y²의 가능한 나머지는 0, 1, 4입니다. x³+x는 x=0부터 4까지 차례로 0, 2, 0, 0, 3입니다. 따라서 보통 점은 (0, 0), (2, 0), (3, 0)뿐이며 덧셈의 항등원인 특별한 점 O까지 더해 네 원소예요.
곡선의 점 덧셈에서 (x, y)의 반대 점은 (x, −y)입니다. y=0인 세 점은 각자 자기 반대 점과 같아요. 그러므로 두 번 더하면 모두 O가 돼요.
O도 두 번 더하면 O입니다. 서로 다른 네 입력이 한 출력으로 모이므로 O를 받아 원래 점을 알아낼 수 없어요. 숫자 2가 나머지 체계에서 역원을 가진다는 사실과, 점의 두 배 연산이 일대일이라는 사실은 별개예요. 실제 암호에서는 사용할 점들의 군과 정수배 연산의 조건을 함께 정해야 해요.
참고한 수학 개념: AMS · How Elliptic Curves Secure the Digital World.
이 글의 생활 상황과 계산 예시는 수학 이야기에서 새로 구성했습니다.