행성 가까이에서는 달의 가까운 쪽과 먼 쪽이 다른 중력을 받아 찢어질 수 있어요. NASA의 카시니 FAQ는 이 조석 분해 거리인 로슈 한계를 설명해요. 그 개념에서 착안해 재료의 버티는 힘이 없는 유체형 작은 달의 독립 가상 모형을 비교하겠습니다.
모형의 한계 거리는 행성 중심에서 잰 d이고, 행성 반지름 R과 평균 밀도 ρₚ, 달 밀도 ρₘ을 사용해요. 같은 밀도에서 약 2.5R이라는 설명에 맞춰 다음 근사식을 가정해요. 실제 단단한 달의 강도나 궤도 변화까지 포함하지 않아요.
행성 A의 밀도가 달의 8배이면 dₐ=5Rₐ입니다. 이제 행성 질량을 유지하면서 반지름만 두 배인 행성 B를 생각해요. 구의 부피는 여덟 배이므로 ρᵦ=ρₐ/8=ρₘ입니다. 달 밀도는 그대로예요.
행성은 커졌지만 중심에서 잰 한계 거리는 같아요. R과 밀도 중 하나만 바꿔 계산하면 이 상쇄가 사라져요. 두 행성 표면 반지름은 Rₐ와 2Rₐ로 모두 한계 거리 안에 있어 비교 조건도 맞아요. 다만 표면부터 잰 간격은 각각 4Rₐ와 3Rₐ라서 같지 않아요. 무엇을 고정하고 어디서 거리를 재는지가 답을 결정해요.
참고한 수학 개념: NASA · Cassini FAQ.
이 글의 생활 상황과 계산 예시는 수학 이야기에서 새로 구성했습니다.