위아래로 이어지는 가상 원뿔 표면을 x²+y²=z²로 정해요. 세 좌표의 숫자는 cm 단위예요. 평면 z=2x로 자른 경우와 평행한 평면 z=2x+1로 자른 경우를 비교하겠습니다. 각도는 같으니 둘 다 같은 종류의 매끈한 곡선일까요?
첫 평면식을 원뿔식에 넣으면 x²+y²=4x²입니다. 따라서 y²=3x²이고 절단 결과는 다음 두 직선이에요.
각 직선에 z=2x를 함께 적용하면 원뿔의 꼭짓점 (0,0,0)을 지나는 공간 직선 두 개가 돼요. 한 점에서 만나는 퇴화한 단면이에요.
둘째에서는 x²+y²=(2x+1)²를 전개해요. 3x²+4x+1−y²=0을 완전제곱으로 묶으면 다음 식이 나와요.
이것은 두 가지가 서로 만나지 않는 쌍곡선이에요. x=−2/3을 넣으면 −y²=1/3이어서 실수 점이 없다는 사실로도 중심에서 선이 교차하지 않음을 확인할 수 있어요. 각 점에는 z=2x+1을 붙여 공간 단면으로 되돌립니다.
평면의 같은 기울기는 꼭짓점을 지나느냐는 정보를 주지 않아요. 원뿔 단면을 각도로 분류할 때에도 꼭짓점을 지나는 특수 경우를 따로 남겨야 해요. 실제 유한한 빛 원뿔 장치를 측정한 것이 아니라 무한한 수학 표면의 절단 계산이에요.
참고한 수학 개념: Exploratorium · Slice of Light.
이 글의 생활 상황과 계산 예시는 수학 이야기에서 새로 구성했습니다.