가상 도넛 표면의 위치를 두 방향의 회전수 (x,y)로 기록해요. 각 좌표는 한 바퀴마다 0으로 돌아와, 정수만큼 다른 좌표는 같은 위치예요. 좌표와 시간비 t에는 단위가 없으며, 0≤t≤1 동안 첫 경로 P(t)=(4t,6t), 둘째 Q(t)=(2t,3t)로 움직이에요.
P는 두 방향으로 네 바퀴·여섯 바퀴 돌고, Q는 두 바퀴·세 바퀴 돌아요. P(t)=Q(2t)이므로 표면에 남기는 선의 모양은 같아요. 다만 P는 그 선을 두 번 지나고 Q는 한 번 지나요.
P가 처음 돌아오려면 4t와 6t가 모두 정수여야 해요. 두 수를 빼면 2t도 정수이고, 최소 양수 t는 1/2입니다. Q는 2t·3t가 정수이면 그 차인 t가 정수라, 처음 돌아오는 때는 1입니다.
이제 표면의 좌표만 x′=x, y′=y−x로 바꿉시다. y=y′+x′로 복원할 수 있어 서로 다른 위치를 합치지 않아요. 회전수 (4,6)은 (4,2)로 바뀌지만 최대공약수 2는 유지돼요. 좌표를 바꿔도 실제 경로가 두 번 반복됐다는 사실은 사라지지 않아요.
4:6을 2:3으로 약분하면 방향의 비율은 보존하지만 실제 회전수와 통과 횟수는 줄어들어요. 따라서 두 기록은 같은 선을 가리킬 수 있어도 같은 이동은 아니에요. 선의 모양과 그 선을 언제 몇 번 지났는지를 따로 기록해야 해요.
참고한 수학 개념: AMS · Putting a period on mathematical physics.
이 글의 생활 상황과 계산 예시는 수학 이야기에서 새로 구성했습니다.