진공 낙하 전시는 마찰이 없으면 가벼운 물체와 무거운 물체의 가속도가 같음을 보여 줘요. 공기가 있을 때에는 질량만 비교하면 충분할까요? 가상 모형에서 아래쪽을 양수로 잡고, 중력가속도는 g=10m/s²입니다. 저항력은 속도 v에 비례하는 bv로 정해요.
질량 m의 운동식은 mv′=mg−bv입니다. 두 물체 A는 m=1kg,b=2kg/s, B는 m=3kg,b=6kg/s입니다. 둘 다 처음 속도와 위치가 0이면 b/m=2s⁻¹가 같아서 동일한 식 v′=10−2v를 만족해요.
속도를 적분한 위치도 같아요.
t=1초에서 두 속도는 약 4.3233m/s, 위치는 약 2.8383m입니다. 충분히 오래 뒤의 한계 속도도 모두 5m/s입니다. 질량은 세 배 다르지만 저항 계수도 세 배라 모든 시각의 위치가 같아요.
공기 속에서 같은 낙하가 불가능한 것은 아니에요. 비교에 필요한 값은 이 모형의 b/m이며, 질량을 비교할 때 저항 계수가 무엇인지도 확인해야 해요. 실제 깃털의 복잡한 항력을 이 선형 식으로 측정하거나 모든 모양의 물체에 적용한 결과는 아니에요.
참고한 수학 개념: Exploratorium · Falling Feather.
이 글의 생활 상황과 계산 예시는 수학 이야기에서 새로 구성했습니다.