교실용 가상 숫자 장치에서 시작값 X를 0부터 15까지 같은 확률로 하나 골라요. 다음 값 Y는 5X+1을 16으로 나눈 나머지예요. 실제 프로그램의 난수 알고리즘을 설명하는 모형은 아니며, 수에는 단위가 없어요.
서로 다른 시작값에서 같은 Y가 나올까요? 두 시작값 a,b가 같은 출력을 낸다면 5(a−b)가 16의 배수예요. 5와 16의 최대공약수는 1이므로 a−b도 16의 배수예요. 0~15 안에서 이는 a=b를 뜻해요. 따라서 16개 시작값이 16개 출력을 하나씩 차지해요.
Y도 각 숫자를 1/16 확률로 내요. 같은 규칙을 이어 적용해 만든 다음 출력들 역시, 처음 시작값을 새로 균등 선택하는 실험들을 모으면 각 위치에서 균등해요. 그러나 숫자가 고르게 나온다고 바로 앞 값에서 독립인 것은 아니에요.
X=5를 보면 다음 값은 26을 16으로 나눈 나머지 10으로 확정됩니다. 전체에선 드문 값인데 조건을 알면 반드시 나와요. 홀짝만 알아도 예측이 돼요. 5X+1의 홀짝은 X와 반대이고, 16을 빼도 홀짝이 바뀌지 않아 다음 값의 홀짝은 항상 반대예요.
이 장치의 숫자별 분포를 보는 검사에서는 고르게 보이지만, 연속된 값의 예측 가능성은 그대로 남아요. 균등한 개별 빈도와 독립적인 연속 출력은 서로 다른 성질이므로, 숫자별 표 하나로 둘을 모두 판단할 수 없어요.
참고한 수학 개념: AMS · A Summer set.seed() Sestina.
이 글의 생활 상황과 계산 예시는 수학 이야기에서 새로 구성했습니다.