여러 진동수 성분을 더하는 소리 전시에서 착안한 가상 신호예요. t는 초, 진폭은 비교용 단위예요. 300Hz와 500Hz의 두 성분을 같은 진폭으로 더해 s(t)를 만들어요. 이 입력에는 200Hz 성분이 따로 없어요.
출력을 입력의 제곱 y=s²으로 정한 가상 장치를 통과시킵니다. 제곱하면 두 개의 제곱항과 두 성분의 곱을 두 배 한 교차항이 생겨요. cos²a=(1+cos2a)/2, 2cos a cos b=cos(a−b)+cos(a+b)를 사용해요.
출력에는 600Hz와 1000Hz뿐 아니라 차이 500−300=200Hz, 합 500+300=800Hz도 나타나요. 상수 1은 시간에 따라 진동하지 않는 성분이에요. 없던 200Hz가 생긴 원인은 두 성분을 단순히 더한 일이 아니라 제곱의 교차항이에요.
반대로 y=2s처럼 일정 배수만 곱하면 진폭만 바뀌고 새 진동수는 생기지 않아요. 장치에 넣은 음의 목록만으로 출력 성분까지 정하려면, 장치가 선형인지 확인해야 해요. 실제 스피커나 사람의 귀가 이 제곱 규칙을 따른다고 주장하거나 들리는 음을 측정한 결과는 아니에요.
참고한 수학 개념: Exploratorium · Harmonic Series Wheel.
이 글의 생활 상황과 계산 예시는 수학 이야기에서 새로 구성했습니다.