NASA는 망원경 거울과 구조의 작은 열팽창도 영상에 영향을 줄 수 있다고 설명해요. 이를 길이 1m인 가상 막대로 옮겨 볼까요? 초기에는 힘이 없고, 온도를 전체에 균일하게 20K 올려요. 열팽창 계수 α=10⁻⁵K⁻¹, 탄성계수 E=100GPa, 단면적 A=1cm²입니다.
양끝이 자유롭다면 길이는 αLΔT만큼 늘어나요. 10⁻⁵×1×20=0.0002m, 즉 0.2mm입니다. 힘이 없어도 온도 변화만으로 길이가 변해요.
이제 양끝 사이 거리를 처음 길이로 고정해요. 작은 선형 탄성 모형에서 전체 변형률은 기계적인 변형률과 열팽창 변형률의 합이에요. 인장 응력을 양수로 정하면 다음 조건이에요.
따라서 σ=−EαΔT=−20MPa입니다. 음수는 압축이에요. A=10⁻⁴m²이므로 압축 힘의 크기는 |σ|A=2,000N입니다. 길이 변화는 0인데 내부 힘은 0이 아니에요.
이 계산은 고정점이 움직이지 않고 막대가 선형 탄성 범위에 머물며 좌굴은 없다는 가정이에요. 실제 구조의 안전 하중을 정한 값은 아니에요. 길이가 그대로라는 관찰만으로 온도가 그대로라거나 열 때문에 생긴 힘이 없다고 결론낼 수는 없어요.
참고한 수학 개념: NASA · Controlling the Temperature of Telescope Mirrors to Search for Earth-like Planets.
이 글의 생활 상황과 계산 예시는 수학 이야기에서 새로 구성했습니다.