양수 쪽과 음수 쪽, 적분상수가 달라도 같은 도함수

모든 해를 ln|x|+C의 같은 상수 하나로 나타낼 수 있을까요?

각 구간에서는 다음과 같이 써요.

두 상수가 달라도 모든 허용 입력에서 도함수는 1/x입니다. x<0에서도 ln(−x)의 도함수는 (−1)/(−x)=1/x입니다. C₊=0,C₋=3인 예에서는 F(1)=0,F(−1)=3입니다.

ln|x|+C는 두 상수를 같게 둔 일부 해만 나타내요. 0은 정의역(함수에 입력할 수 있는 값의 범위) 밖이므로 두 구간을 잇는 연속 조건을 요구하지 않았어요. F(1)=0을 주면 C₊만 정해지고 C₋는 남아요.

도함수가 같은 함수의 차가 상수라는 명제를 어느 구간에 썼는지 표시하게 해 볼까요? 양쪽 후보를 직접 미분하고, 한 점의 함숫값 조건이 어느 상수를 정하는지 각각 연결해요.

출처·착안: Adam Glesser, 「Integration By Parts 1」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.