한 점만 1로 바꿨는데, 적분한 함수의 기울기는 그대로 0

x는 모든 실수예요.

윗끝이 x이므로 F′(0)=f(0)=1이라고 쓸 수 있을까요?

한 점에서만 1이고 나머지는 0이므로 모든 구간의 정적분은 0입니다. 음수 x에서도 적분 방향만 바뀔 뿐 F(x)=0입니다. 따라서 $\boxed{F'(0)=0\ne f(0)=1}$입니다.

직접 정의로도 [F(h)−F(0)]/h=0입니다. f는 0에서 연속이 아니므로 그 점에서 연속함수에 대한 적분 함수의 미분 공식을 적용할 수 없어요.

도식에서 f의 점 (0,1)과 F의 점 (0,0)을 다른 축에 표시하게 해 볼까요? 한 점의 값을 바꾸어도 정적분이 달라지지 않는 것과, 원래 함수의 그 점 값이 다른 것을 구별해요. 식 모양과 필요한 연속 가정을 각각 확인하는 질문이에요.

출처·착안: Lin McMullin, 「Derivative Practice – Graphs」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.