20점을 지킬까, 한 번 더 던질까: 평균이 같아지는 경계

\text{현재 점수 }k\ge0,\qquad \text{지금 멈춤 또는 한 번 더 던짐}

공정한 주사위를 한 번 더 던지면 1에서 최종 0점, 2~6에서 k에 눈의 수를 더한다. 추가 시행 뒤에는 반드시 멈춘다. 평균 점수로 선택하면 경계는 어디일까?

\begin{aligned} E(X)&=\frac{0+(k+2)+\cdots+(k+6)}6\\ &=\frac{5k+20}{6},\\ E(X)-k&=\frac{20-k}{6}. \end{aligned}

따라서 k<20이면 한 번 더 던지는 평균이 크고, k>20이면 지금 멈추는 점수 k가 크다. k=20에서는 평균이 같다.

18점에서는 평균 차가 1/3, 24점에서는 −2/3이다. 20점에서 평균이 같아도 결과는 같지 않다. 멈추면 20점이 확정되고, 던지면 0 또는 22~26점이다.

한 번 뒤 멈춘다는 규칙을 문항에 남기자. 계속 던질 수 있는 게임으로 바꾸면 위 비교가 전체 전략을 결정하지 않는다.