첫 공과 둘째 공이 빨강일 확률이 같다, 그래서 독립일까

\begin{aligned} &\text{빨강2개, 파랑2개를}\\ &\text{되돌리지 않고 두 번 뽑는다.} \end{aligned}

매번 남은 공에서 각 공을 같은 확률로 고른다. A는 첫 공이 빨강, B는 둘째 공이 빨강이다. 두 개별 확률이 같으면 독립일까?

\begin{aligned} P(A)&=P(B)=\frac12,\\ P(A\cap B)&=\frac24\frac13=\frac16\\ &\ne\frac14=P(A)P(B). \end{aligned}

독립이 아니다. P(B)=1/2는 첫 결과를 모를 때의 확률이고, 첫 공이 빨강이라고 알면 P(B|A)=1/3이다. 둘째의 확률을 경우로 나누어도

P(B)=\frac12\frac13+\frac12\frac23=\frac12

로 일치한다. ‘둘째도 1/2’를 모두 틀렸다고 표시하지 않고 어떤 정보 아래 쓴 값인지 확인하자.

복원하고 섞는 독립 추출로 바꾸면 두 조건부확률이 1/2로 유지되어 교집합은 1/4다. 같은 개별 확률과 독립 조건을 서로 다른 칸에 쓰게 한다.