수학 이야기수업과 문항을 함께 생각하는 기록

구를 평면으로 자른 원과 정사영의 경계는 같은가

구 x²+y²+(z−2)²=9와 xy평면의 교선 반지름은√5입니다. 구 위 점들의 정사영 영역은 x²+y²≤9, 경계 반지름3입니다. 중심을(0,0,6)으로 옮기면 교선은 없지만 정사영 영역은 같습니다.

x2+y2+(z−2)2=9x^2+y^2+(z-2)^2=9

구와 xy평면의 교선인 원, 구 위 점들을 정사영하여 덮이는 영역의 경계를 비교하자.

교선은 z=0을 대입해 x²+y²=5, 반지름√5다. 구 위에 있으면서 평면 위에도 있는 점을 찾은 것이다.

정사영에서는 실제 구 위의 z가 존재하면 된다.

(z−2)2=9−x2−y2≥0⟺x2+y2≤9. \begin{aligned}(z-2)^2&=9-x^2-y^2\ge0\\&\Longleftrightarrow\quad x^2+y^2\le9.\end{aligned}

따라서 덮이는 영역은 안쪽까지 포함하며 경계 반지름 3이다. z=0을 대입하면 정사영의 점들을 불필요하게 제외한다.

중심을(0,0,6)으로 옮겨도 정사영 영역은 같다. 그러나 구의 z범위 3~9는 평면과 만나지 않는다. 자르는 조건과 수선의 발을 옮기는 조건을 그림의 다른 색으로 구별한다.

출처·착안: Mark Chubb, 「How many do you see? (Part 1)」. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.