수학 이야기수업과 문항을 함께 생각하는 기록

네 꼭짓점을 지나는 구의 중심, 점 하나로 정해질까

A(1,1,0), B(−1,1,0), C(−1,−1,0), D(1,−1,0)를 모두 지나는 구입니다. 중심은(0,0,c), 반지름√(2+c²)로 모든 실수c에서 가능합니다. 중심도z=0 위라는 조건을 추가해야 원점·반지름√2로 정해집니다.

A(1,1,0),B(−1,1,0),C(−1,−1,0),D(1,−1,0) \begin{aligned}A(1,1,0),\quad B(-1,1,0),\\C(-1,-1,0),\quad D(1,-1,0)\end{aligned}

네 점을 모두 지나는 구의 중심은 반드시 원점일까? 가능한 모든 중심을 구하자.

중심(a,b,c)에서 A,B까지 거리의 제곱을 같게 두면 a=0이고 B,C 비교에서 b=0이다. 네 점의 z는 모두 0이라 c를 정하지 않는다.

중심 (0,0,c),r=2+c2,c∈R. \text{중심 }(0,0,c),\qquad r=\sqrt{2+c^2},\qquad c\in\mathbb R.

중심(0,0,1), 반지름√3도 실제 네 점을 지난다. 반지름은 모든 c에서 양수다.

z=0의 원 중심을 구의 중심에 그대로 옮기지 않는다. ‘구의 중심도 z=0 위’라는 조건을 더하면 그때 c=0, 반지름√2로 유일해진다. 거리 차식에서 남은 미지수를 계산 실패로 지우지 말고 실제로 움직일 수 있는 값인지 대입하게 하자.

출처·착안: Mark Chubb, 「How many do you see? (Part 1)」. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.