수학 이야기수업과 문항을 함께 생각하는 기록

25% 늘렸다 25% 줄인 길이, 처음 길이로 돌아갈까

길이 64를 25% 늘려 80, 그 결과를 25% 줄이면 60입니다. 같은 비율의 기준 길이가 달라 +16과 −20이 됩니다. 80에서 64로 돌아가려면 20% 감소입니다. 같은 두 변화를 반복한 홀수 번호 길이는 64(15/16)ⁿ⁻¹입니다.

L1=64,L2=1.25L1,L3=0.75L2L_1=64,\qquad L_2=1.25L_1,\qquad L_3=0.75L_2

길이를 25% 늘린 뒤 그 결과를 25% 줄이면 처음으로 돌아갈까? L₂에서 64로 돌아가는 감소 비율도 구하자.

변화 기준 길이 변한 양
25% 증가 64 +16
25% 감소 80 −20

L₂=80, L₃=60으로 처음보다 짧다. 복원하려면 80에서 16을 줄이므로 감소 비율은 16/80=20%다.

1.25⋅0.75=1516,L2n−1=64(1516)n−1. 1.25\cdot0.75=\frac{15}{16},\qquad L_{2n-1}=64\left(\frac{15}{16}\right)^{n-1}.

두 변화를 계속 반복할 때 홀수 번호만 고르면 공비 15/16이다. 전체 길이 목록은 배율이 1.25와 0.75로 번갈아 달라 등비수열이 아니다. 비율의 기준값과 고른 항 번호를 함께 남긴다.

출처·착안: Jo Morgan, 「New GCSE: Sequences」. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.