다섯 실수 자료의 최솟값은0, 최댓값은4라고 적혀 있다. 같은 카드에 평균3.8이 적혀 있다면 가능한 자료인가? 최솟값과 최댓값은 실제로 자료에 나타난 값이다.
불가능하다. 적어도 한 자료가0이므로 나머지 네 개를 모두4로 놓아도 합은16이다. 평균은16/5=3.2를 넘을 수 없다. 평균3.8이 요구하는 합19는 그 한계를 넘는다.
반대로 적어도 한 값이4이므로 합은4보다 작을 수 없다. 가능한 평균 범위는 다음과 같다.
아래끝은0,0,0,0,4로, 위끝은0,4,4,4,4로 실현된다. 그 사이 평균 m은0,4,t,t,t에서 t=(5m−4)/3으로 만들 수 있다. 주어진 범위에서 t는0~4 안에 있다.
평균이0과4 사이에 있다는 일반 조건은 필요하지만 이 카드의 자료 수와 실제 끝값 조건까지 충분히 반영하지는 못한다. 구간 안에3.8이 있다는 이유만으로 카드를 맞추면 실제 최솟값0을 넣을 자리가 사라진다.
교사는 “0~4인 값을 갖는다”와 “최솟값0·최댓값4를 실제로 갖는다”를 구별해서 적는다. 전자만 주면 모두3.8인 자료도 가능하지만 후자는 최소 한 개의0과4를 반드시 포함한다.
학생이 만든 예에서는 자료 수가 다섯 개인지도 확인한다. 여섯 개 이상의 값으로 보완하면 원래 카드의 자료 수 조건이 바뀌므로 반례를 해결한 것이 아니다.
요약 카드의 수들이 서로 맞는지 확인한 뒤 실제 자료를 만든다. 자료 수 한 가지가 평균의 가능 범위를 더 좁힌다.
출처·착안: Sarah Carter, 「Boxplot and Histogram Card Sort Activity」. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.