가상의 상품 A, B, C에 대해 ‘A 3개와 B 5개의 가치가 같다’, ‘B 4개와 C 7개의 가치가 같다’, ‘A 4개와 C 12개의 가치가 같다’고 적었다. 각 상품 한 개의 가치는 양수이고 거래 비용은 없다고 가정한다. 세 줄을 동시에 만족하는 가격이 있는가?
일차방정식을 함께 만족하는 가격을 찾는 문제다. 한 개의 가치를 각각 a, b, c로 놓으면 앞의 두 줄은 3a=5b, 4b=7c이다. 따라서 다음 관계가 따라온다.
셋째 줄은 4a=12c를 요구한다. 이를 앞의 결과와 같게 놓으면 (35/3)c=12c, 즉 c=0인데, 이는 양수라는 조건에 어긋난다. 따라서 가능한 가격은 없다.
한 줄씩 계산하면 그럴듯해 보이는 표도, 같은 상품으로 돌아오는 경로를 비교하면 모순이 드러난다. 셋째 줄을 ‘A 12개와 C 35개’로 바꾸면 세 조건이 양립한다.
HPM의 계산서 소개는 상품 가치와 교환도 피보나치 저술의 중요한 주제라고 설명한다. 이 글의 교환 수치와 세 상품은 새로 만든 예시다. 교사는 답을 먼저 구하게 하기보다, 같은 C단위로 옮긴 두 경로가 일치하는지 확인하게 할 수 있다.
출처·착안: 八百歲的計算書 HPM通訊 5권 11호. 문항과 풀이, 도식은 새로 작성했다.