세 좌표축이 구를 가른 길이가 모두 4라면, 반지름은 2일까?

\begin{array}{c|c} x\text{축 교점}&(1,0,0),(5,0,0)\\ y\text{축 교점}&(0,-1,0),(0,-5,0)\\ z\text{축 교점}&(0,0,1),(0,0,5) \end{array}

여섯 점을 지나는 구가 있다. 세 축에서 현 길이가 모두4이므로 반지름2라고 쓴 풀이를 검토하고 실제 구를 구하라.

중심C=(a,b,c)를 놓는다. x축 두 교점까지 거리 제곱을 빼면(1−a)²=(5−a)²에서 a=3이다. 같은 방식으로 b=−3, c=3이다.

C=(3,-3,3),\qquad R^2=(1-3)^2+3^2+(-3)^2=22.

구는(x−3)²+(y+3)²+(z−3)²=22다. 여섯 점을 대입하면 모두22가 되어 존재와 반지름√22를 확인한다.

x축 현의 중점은(3,0,0)이고 구의 중심은(3,−3,3)이다. 현의 중점이 곧 중심은 아니다. 중심에서 x축까지 거리√18과 현 길이의 절반2를 직각삼각형으로 놓으면 R²=18+4=22가 된다.

세 축의 현이 모두 같은 길이인 것은 중심이 세 축에서 같은 거리√18만큼 떨어져 있기 때문이다. 현이 지름이려면 그 축이 중심을 지나야 한다. 세 길이가 같다는 정보에 중심 통과 조건은 없다.

해설에는 현 길이 계산4를 틀렸다고 표시하지 않는다. 바꿀 문장은 그것을 지름으로 읽은 부분이다. 축별 두 점에서 중심의 성분을 각각 복원하고, 구의 식 하나에 여섯 점이 동시에 들어가는지 확인한다. 같은 길이를 여러 번 확인해도 빠진 중심 조건이 생기지는 않는다.

반지름2를 넣어 얻은 구가 여섯 점을 지나는지도 직접 확인하게 한다. 한 축의 두 교점만으로 구를 정하면 중심의 다른 두 성분이 남는다. 세 축 조건을 함께 사용했을 때만 이 중심으로 좁혀지는 과정이 보인다.