네 학생은 처음 자기 이름표를 가진다. 여섯 사람 쌍 중 하나를 같은 확률로 골라 그 두 학생의 이름표를 서로 바꾼다. 이 절차를 독립적으로 한 번 더 한다. 같은 쌍을 다시 골라도 된다. 두 번 뒤 자기 이름표를 가진 학생 수 X의 확률분포를 구하라.
X=2와 X=3은 불가능하다. 이름표를 아무 순열로나 배치한 것이 아니라 정확히 두 번 교환했다는 조건을 사용해야 한다.
첫 쌍을 고정하면 둘째 쌍은 여섯 개다. 같은 쌍1개는 처음 상태로 돌아가 X=4다. 첫 쌍과 한 사람만 겹치는 쌍4개는 세 사람의 이름표를 돌려 바꾸고 나머지 한 사람만 맞아 X=1이다. 겹치는 사람이 없는 쌍1개는 네 사람 모두 틀려 X=0이다.
교사는 네 학생의 이름표를 A,B,C,D로 적어 두 교환을 순서대로 실행하게 한다. “한 번에 두 개 틀리므로 두 번에도 두 개 틀린다”는 답은 어떤 두 학생을 둘째에 골랐는지 빠뜨렸다.
전체 출발 기록은 첫 쌍6개와 둘째 쌍6개의36개다. 최종 배열이 같아지는 기록을 지우고 새 배열을 모두 같은 확률로 세면 안 된다. 처음으로 돌아오는 배열 하나만 해도 같은 쌍을 두 번 고른6개 기록에서 만들어진다.
같은 쌍을 두 번째에 금지하면 다른 분포가 된다. 여기서는 그 선택을 허용했으므로 X=4의 확률1/6을 남긴다. 선택의 독립 조건과 허용 목록은 계산의 일부다.
분포표에는0부터4까지 모든 수에 같은 확률을 줄 필요가 없다. 실제 교환에서 만들 수 있는 값인지부터 확인한 뒤 각 기록의 수를 더한다.
출처·착안: Colleen Young, 「Systematic Listing Strategies」. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.