원점 왼쪽에 있어도 오른쪽으로 움직일 수 있다

s(t)=t^3-3t^2\quad(0\le t\le3)

수직선 위를 움직이는 점의 위치 $s$ 의 단위는 m, 시간 $t$ 의 단위는 초다. $t=\frac52$ 일 때 다음 문장을 판단하자.

학생: “위치가 음수이므로 점은 수직선의 음의 방향으로 움직입니다.”

위치를 계산하면 $s(\frac52)=-\frac{25}{8}$ m다. 점은 원점의 왼쪽에 있다. 움직이는 방향은 위치의 부호가 아니라 속도의 부호로 정한다.

v(t)=s'(t)=3t^2-6t,\qquad v\left(\frac52\right)=\frac{15}{4}>0

따라서 이 시각에 점은왼쪽에 있으면서 양의 방향으로 움직인다. 위치가 음수라는 계산은 맞지만 그 계산에서 방향을 결론 낸 문장을 고쳐야 한다.

이를 두 시각으로 비교할 수도 있다. $t=1$ 에서는 위치 $-2$ m, 속도 $-3$ m/s이고, $t=\frac52$ 에서는 위치가 여전히 음수이나 속도는 양수다. 같은 쪽에 있는 두 순간에도 운동 방향은 달라질 수 있다. $t=2$ 에서 속도가 0이 되고, 그 전후 부호가 음수에서 양수로 바뀐다.

학생이 ‘왼쪽’을 말했을 때 원점 기준의 위치인지, 움직이는 방향인지 구별해 받아 적는다. 방향의 설명에는 반드시 속도 $\frac{15}{4}$ m/s를 근거로 붙이게 한다.

출처·착안: Lin McMullin, 「Matching Motion」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.