가속도가 양수인데도 속력은 줄어드는 순간이 있다

v(t)=t^2-4t\qquad(0\le t\le4)

수직선 위 점의 속도 단위는 m/s, 시간 단위는 초다. $t=3$ 에서 학생은 “가속도가 양수라서 점점 빨라진다”라고 말했다. 속도의 값이 커진다는 말과 속력이 커진다는 말은 같을까?

$a(t)=v'(t)=2t-4$ 이므로 $a(3)=2$ m/s²다. 속도는 $v(3)=-3$ m/s다. 가속도가 양수여서 음수인 속도가 0에 가까워지는 순간이다.

$0<t<4$ 에서 속도는 음수이므로 속력은 $|v(t)|=-v(t)=4t-t^2$ 다. 이를 미분하면

(|v(t)|)'=4-2t,\qquad (|v(t)|)'_{t=3}=\boxed{-2}<0

따라서 $t=3$ 에서 속력은 줄어든다. 반면 $t=1$ 에서는 속도 -3m/s, 가속도 -2m/s²이고 속력의 변화율은 2이므로 빨라진다. 같은 속도값 -3인 두 순간에도 가속도의 부호에 따라 속력 변화가 반대다.

음수인 구간에서 속력의 식을 쓰게 한다. ‘속도 증가’라는 문장을 유지하더라도 ‘속력 증가’로 바꾸어 쓰지 않게 한다. 속도가0인 시각의 속력 미분은 별도 확인이 필요하지만 이번 질문의 두 시각1과3에서는 속도가0이 아니므로 위 계산을 그대로 적용할 수 있다.

출처·착안: Lin McMullin, 「Matching Motion」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.