제곱한 대칭식의 값에서는 잃어버린 부호를 복원해야 한다

x^2+\frac1{x^2}=7,\qquad x\in\mathbb R,\ x\ne0

$x+1/x$ 의 값을 구하라. 답을 3 하나로 적어도 될까?

\begin{aligned} \left(x+\frac1x\right)^2&=7+2=9\\ x+\frac1x&=\boxed{\pm3} \end{aligned}

x의 조건	x와 1/x의 부호	합
x>0	둘 다 양수	3
x<0	둘 다 음수	−3

두 값 모두 가능하다. 합이 3일 때 x는 $(3\pm\sqrt5)/2$ , 합이 −3일 때는 $(-3\pm\sqrt5)/2$ 다.

제곱을 풀 때 빠진 부호

원래 조건에는 x>0이 없다. 제곱한 값만 보고 양의 제곱근을 선택했다면, 식을 전개하는 계산보다 부호를 결정할 추가 조건을 확인하게 한다.

해외의 Shared Factors 문제는 공통된 식의 구조를 찾게 한다. 이를 역수와의 합을 만들고, 제곱 과정에서 구별하지 못한 두 부호를 복원하는 새 문항으로 바꿨다.

출처·착안: Shared Factors – A Quadratics Puzzle. 문항과 풀이는 새로 작성했다.