수학 이야기수업과 문항을 함께 생각하는 기록

곡선 사이의 넓이는 위아래가 바뀌는 교점에서 나눈다

곡선 사이의 넓이는 위아래가 바뀌는 교점에서 나눈다

초록 숲 사이로 크게 굽이치는 강의 공중 모습

사진: Hillebrand Steve, U.S. Fish and Wildlife Service · Public domain · 원본 출처

y=x3,y=x,−1≤x≤1y=x^3,\qquad y=x,\qquad -1\le x\le1

두 곡선 사이의 넓이를 구하자. ∫−11(x−x3) dx=0\int_{-1}^{1}(x-x^3)\,dx=0이면 넓이도 0일까?

교점의 x좌표는 −1, 0, 1이다. −1<x<0에서는 x³이 위에 있고, 0<x<1에서는 x가 위에 있다. 따라서

S=∫−10(x3−x) dx+∫01(x−x3) dx=14+14=12. \begin{aligned} S&=\int_{-1}^{0}(x^3-x)\,dx\\ &\quad+\int_{0}^{1}(x-x^3)\,dx\\ &=\frac14+\frac14=\boxed{\frac12}. \end{aligned}

차를 같은 순서로 적분한 0은 두 구간의 부호가 상쇄된 값이다. 각 구간에서 위 곡선에서 아래 곡선을 뺀 넓이는 상쇄되지 않는다.

답안의 교점만 맞았으면 x=−1/2와 1/2를 각각 대입하게 하자. 어느 곡선이 위인지 확인한 뒤 빼는 순서를 정할 수 있다. 같은 그림에 ‘두 함수의 차의 정적분’과 ‘두 곡선 사이의 넓이’를 나란히 물으면 0과 1/2가 서로 다른 질문의 답임을 보여 준다.

출처·착안: Sarah Carter, 「Quadratic Area Puzzles」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.