수학 이야기수업과 문항을 함께 생각하는 기록

유리함수의 매개변수 하나가 역함수 존재를 바꾼다

f_a(x)=(2x+a)/(x+1), x≠−1, a는 실수입니다. 공역을 치역으로 둘 때 a=2는 상수함수라 역함수가 없습니다. a≠2에서는 치역이 2를 제외한 실수 전체이고 역함수는 (a−y)/(y−2), y≠2입니다.

큰 톱니와 작은 톱니가 맞물린 기어의 가까운 모습

사진: Tangopaso · Public domain · 원본 출처

fa(x)=2x+ax+1,x≠−1,a∈Rf_a(x)=\frac{2x+a}{x+1},\qquad x\ne-1,\quad a\in\mathbb R

공역을 치역으로 정할 때, 역함수가 존재하는 a와 역함수의 식을 구하라.

fa(x)=2+a−2x+1.f_a(x)=2+\frac{a-2}{x+1}.

a=2이면 모든 함수값이 2이므로 역함수가 없다. a≠2이면 f_a(u)=f_a(v)에서 u=v가 되어 일대일함수다.

y=2는 얻을 수 없다. y≠2에서는 식을 풀어

x=a−yy−2x=\frac{a-y}{y-2}

를 얻으며, 이 x가 −1이면 a=2가 되어 제외한 조건과 충돌한다. 원래의 식에 대입하면 함수값은 y다. 따라서 치역은 2를 제외한 실수 전체이고,

fa−1(y)=a−yy−2 (y≠2),a≠2.\boxed{f_a^{-1}(y)=\frac{a-y}{y-2}\ (y\ne2),\qquad a\ne2}.

역함수의 식만 맞게 적은 답안에도 a=2를 따로 확인했는지 묻는다. 분모가 있는 식이라는 모양은 일대일 성질을 보장하지 않는다.

출처·착안: Dan Meyer, 「Plates Without States」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.