필요한 곳에서 f와 역함수 g가 모두 두 번 미분가능하다고 하자. g의 이계도함수를 구하라. 역함수는 언제나 원래 함수와 반대 방향으로 볼록하다는 주장도 검사한다.
한 번 미분하면 f′(g(y))g′(y)=1이다. 다시 미분하면 f″(g)(g′)²+f′(g)g″=0이므로
f′>0이면 이계도함수의 부호가 반대이고, f′<0이면 부호가 같다. f=x²,x>0의 역함수 √y는 아래로 볼록인 원래 함수와 달리 위로 볼록이다.
반면 f=1/x,x>0은 감소하면서 아래로 볼록이고 역함수도 1/y로 아래로 볼록이다. 따라서 ‘항상 반대’라는 주장은 거짓이다.
부호를 정할 때 분모의 세제곱을 제곱으로 바꾸지 않는다. 원래 접점 g(y)에서의 두 도함수와 역함수의 입력 y를 구별하여 식을 읽는다.
출처·착안: Lin McMullin, 「Seeing the Chain Rule」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.