f는 미분가능하고 도함수는 [0,1]에서 연속이다. ∫_0^1 f(x)f′(x)dx를 구하라. 적분 두 개를 각각 구해 곱하는 풀이가 필요한가?
f²/2를 미분하면 ff′이므로
함수가 중간에 0을 지나더라도 끝값의 제곱 차 계산은 같다. f=5x−2를 넣으면 f′=5이고 ∫_0^1(25x−10)dx=5/2로 직접 검산된다.
이후 따로 계산하는 두 정적분의 구간도 모두 0부터 1이다. 그러나 두 정적분의 곱은 일반적으로 이 값과 같지 않다. 위 예에서 ∫f=1/2,∫f′=5라 우연히 같지만 f=5x²−2에서는 ∫f=−1/3,∫f′=5여서 곱은 −5/3이다. 목표 적분은 여전히 5/2다.
부정적분으로 구한 식을 미분해 원래의 식이 돌아오는지 확인한다. 이번에 특별한 계산이 가능한 이유는 두 인수가 서로 도함수 관계라는 점이며, 임의의 두 함수에 같은 규칙을 적용하지 않는다.
출처·착안: Adam Glesser, 「Integration By Parts 1」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.