첫항을 지우면 수렴 여부와 합은 각각 어떻게 달라질까

S_n=\sum_{k=1}^{n}a_k,\qquad T_n=\sum_{k=2}^{n+1}a_k.

실수 수열의 첫항 하나를 지운 급수는 수렴 여부와 합이 어떻게 달라질까? 두 식 모두 $n$ 개 항을 더했다.

T_n=S_{n+1}-a_1,\qquad S_n=T_{n-1}+a_1\quad(n\ge2).

두 관계로 한 부분합 수열이 수렴하면 다른 것도 수렴한다. 원래 합이 $L$ 이면 삭제한 뒤의 합은 $\boxed{L-a_1}$ 이다.

첫항이 양수면 합이 작아지고, 음수면 오히려 커진다. “항을 지우면 합이 줄어든다”로 쓰지 않는다. $a_n=2^{-n}$ 의 예에서는 원래 합 1에서 $a_1=1/2$ 를 뺀 $1/2$ 다.

항 개수의 $n+1$ 과 합에서 뺀 $a_1$ 을 따로 표시하게 하자. 이 증명은 유한한 항 삭제에 관한 것이며, 무한히 많은 항을 지우는 경우까지 확장하지 않는다.

출처·착안: Good Question 14. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.