∫02f(x)dx=3,∫02f(x)2dx=5,E(a)=∫02(f(x)−a)2dx.
f는 [0,2]에서 연속이고 a는 실수다. E(a)의 최솟값과 그때의 일정한 높이 a를 구하자.
E(a)=5−2a⋅3+a2⋅2=2(a−23)2+21.
따라서 a=3/2, E(a)=1/2에서 최소다.
상수항 적분에서 구간 길이 2를 빠뜨리면 a2의 계수가 틀린다. 이 계수와 전개한 가운데 항을 따로 표시하게 하자.
가장 좋은 일정한 높이가 3/2라는 결론은 f 자체가 상수라는 뜻이 아니다. f(x)=3/2+(3/2)(x−1)도 처음 두 조건을 만족한다.
출처·착안: Average Value of a Function. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.
